Schwarzの提灯

(a)Schwarzの提灯(内接多面体)　　　　　　(b)上から見た図　　　　　　　　　　　(c)横から見た図
　

上図のように半径r、高さhの円柱において、底面の円周をn等分、高さをm等分し、側面にπ/nずつ回転して分点を入れ、二等辺三角形でできる内接多面体を考えます。

提灯の形に見えますよね？この三角形の数を無限個にしたら、円柱の側面積である"2πrh"になるだろうか、というのが「Schwarzの提灯」という問題です。

まず(b)を見てみましょう。
ここで描かれている三角形の底辺の長さは

となります。大丈夫だよね？(b)と(c)を見ると(a)で色の付いている三角形の高さh'は

上の式は三平方の定理を使っただけ。最後の式変形は

を使いました。図を見てもらってもわかる通り、三角形の数は2mn個あります。なので面積の総和S_{m,n}は("_ "は下付きの添え字を表す記号です。)

これを計算していくと

となります。ここで、「n,m→∞」とすれば、円の側面積に一致するはず！ん？何かおかしい。。。
勘の良い人はわかるかも知れませんが、単純に「n,m→∞」としてはまずいのです！

ここで新しく、S_{m,n}の∞の極限を取った面積をSとおきます。今回のような極限を取るときは次の式

を使います。何でまずいのか？これは以下のような場合分けをしてみたらわかります。それでは早速やってみましょう。

(i)　m=nのとき

(ii)　m=n^2のとき

(iii)　m=n^3のとき

とまぁ、mとnの比の取り方によっては2πrになったり無限大になってしまったりと。なんとも不思議なことが起きちゃうわけであります。僕らは答えを知ってるので、側面積"2πrh"になるためには"m=n"という制限をかけて極限を取らなければいけません。

ただ、もし側面積が"2πrh"という答えを僕らが知らないときはどうやって"m=n"が正しいと示せば良いのだろうか。。。証明はやったことがないのでわからないけど、「はさみうちの原理」を使ったりするのかな？